Question

（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．

（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．

Answer

（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．

【解析】

试题分析：对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；

对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．

【解析】
（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，

①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，

∴x≥；

②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，

∴﹣1≤x≤0；

③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，

∴x＜﹣1．

综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．

（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，

从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，

∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，

∴，解得，

故a的取值范围是[﹣]．

考点：绝对值不等式的解法．