Question

如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（1）求证：；

（2）若时，求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结，根据等腰三角形中线即为高得，由平面平面得，又，利用线面垂直的判定定理证平面，进一步知道，又因，故平面，所以；（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，得到，用向量法求二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：连结，因，是的中点，故．

又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以． （2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而

设平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角

为钝二面角，则余弦值为.

考点：（1）线面垂直的判定定理及性质定理；（2）空间向量法求二面角.

【方法点睛】二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化(线面角与此类似) .平面法向量的基本应用.在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角(利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余)；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角(同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可).