Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，且PA⊥底面ABCD中，AB=1，PA=2．

（I）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积；

（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD，若存在，请证明；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面DMB，证明见解析

【解析】

试题分析：（I）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，由正方形的性质得AC⊥BD，故BD⊥平面PAC；

（II）以△ABC为棱锥底面，PA为棱锥的高，代入体积公式计算即可；

（III）过D作DM⊥PC，垂足为M，则PC⊥平面BDM．

【解析】
（Ⅰ） 证明：因为PA⊥底面ABCD，DB⊂面ABCD，

所以PA⊥DB．

又因为四边形ABCD是正方形，

所以AC⊥DB

在平面PAC中，PA∩AC=A，

所以DB⊥平面PAC．

（Ⅱ） 因为PA⊥底面ABCD，

所以点P到平面ABC的距离为PA的长．

又因为四边形ABCD是正方形，且AB=1，PA=2，

所以=．

（Ⅲ）在△PDC中，过点D作DM⊥PC，交PC于点M．

由（Ⅰ）已证DB⊥平面PAC，

因为PC⊂面PAC，

所以DB⊥PC．

因为在平面DMB中，DM∩DB=D

所以PC⊥平面DMB．

所以在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面DMB．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．