Question

如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．

（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；

（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；

（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．

Answer

（Ⅰ）分别在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据折叠前后折痕一侧的角不发生变化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°，

（2）根据AG⊥GB，AG⊥GC可得AG⊥平面GBC，故而AG⊥BC；

（3）连结EF，则EF∥AG，故而EF⊥平面GBC，所以平面EFB⊥平面GBC．

【解析】
（Ⅰ） 在正方形AG1G2G3中，∠G1，∠G2，∠G3都是直角．

沿AB，BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后，此三个角度数不变．

即 在四面体GABC的四个面中，

在△AGB中，∠AGB=90°，

在△AGC中，∠AGC=90°，

在△BGC中，∠BGC=90°，△ABC不是直角三角形．

故 分别在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形．

（Ⅱ）在四面体GABC的直观图中标出点E，F，

证明：因为在△AGC中，点E，F分别是GC，AC的中点，

所以EF∥AG，

因为EF⊄平面ABG，AG⊂平面ABG，

所以EF∥平面ABG．

（Ⅲ）证明：在四面体GABC中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，

即 AG⊥GB，AG⊥GC，

因为在平面BGC中，GB∩GC=G

所以AG⊥平面BGC．

由（Ⅱ）已证EF∥AG，

所以EF⊥平面BGC．

因为EF⊂平面EFB

所以平面EFB⊥平面GBC．

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．