Question

已知椭圆C：x²+3y²=4．

（I）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）存在点N（2，0），使命题是真命题，理由见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意求出a，b的值，结合隐含条件求得c，则椭圆的离心率可求；

（Ⅱ）假设存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N，然后分直线AB的斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及AN⊥BN列式求得N的坐标；当斜率不存在时，验证AN⊥BN成立即可．

【解析】
（Ⅰ） 由椭圆方程知a2=4，，

∵a2=b2+c2，

∴，则，

∴椭圆的离心率为；

（Ⅱ） 真命题．

由椭圆的对称性知，点N在x轴上，设N（t，0），

①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣4=0．

∴△=4（9k2+4）＞0，

，，

∵以线段AB为直径的圆过点N，

∴AN⊥BN，

∴，

则（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=0，

∴，

∴，

则，即﹣4﹣6tk2+t2+3t2k2=0，

∴3tk2（t﹣2）+（t2﹣4）=0，即（t﹣2）（3tk2+t+2）=0．

∴若以线段AB为直径的圆恒过点N（t，0），

则t﹣2=0，即t=2，

∴当直线AB的斜率存在时，存在N（2，0）使命题是真命题；

②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=1．A（1，1），B（1，﹣1），

以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，

∵N（2，0）满足方程（x﹣1）2+y2=1，

∴当直线AB的斜率不存在时，点N（2，0）也能使命题是真命题．

综上①②知，存在点N（2，0），使命题是真命题．

考点：椭圆的简单性质．