Question

已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）arccos（Ⅲ）﹣

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；

（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD．

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD．

又CD⊂面PCD，

∴面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）【解析】
过点B作BE∥CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角．

连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，

∴cos∠PBE=．

∴AC与PB所成的角为arccos．

（Ⅲ）【解析】
作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．

在等腰三角形AMC中，AN×MC=，

∴AN=．

∴AB=2，

∴cos∠ANB==﹣

故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．

考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．