Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，将三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．

（Ⅰ） 求线段AC的长度；

（Ⅱ） 求证：AD⊥平面ABC．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：法一：

（Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，从而BC⊥面ABD，由此能求出线段AC的长度．

（Ⅱ）由BC⊥面ABD，得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．

法二：

（Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，BD⊥BC，取BD中点F，连接AF，CF，则AF⊥面BCD，由此能求出线段AC的长度．

（Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能证明AD⊥平面ABC．

解法一：

【解析】
（Ⅰ）在梯形ABCD中，

取CD中点E，连接BE，因为AB⊥AD，AB=AD=2，

所以，又，

所以四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BE⊥CD，

所以

在△BCD中，，所以BD⊥BC，

翻折之后，仍有BD⊥BC

又面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BC⊂面BCD，所以BC⊥面ABD

又AB⊂面ABD，所以BC⊥AB

所以

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD，又AD⊂面ABD，所以BC⊥AD

又AB⊥AD，AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC

解法二：

【解析】
（Ⅰ）在梯形ABCD中，取CD中点E，连接BE，

因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以

又，所以四边形ABDE为正方形，

即有BE=2，BE⊥CD，所以

在△BCD中，，所以BD⊥BC，

翻折之后，仍有BD⊥BC

取BD中点F，连接AF，CF，则有BD⊥AF，

因为面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF⊂面ABD，

所以AF⊥面BCD

又CF⊂面BCD，AF⊥CF

因为，，

所以

证明：（Ⅱ）在△ACD中，，CD=4，AD=2，

AD2+AC2=CD2，

所以AD⊥AC

又AB⊥AD，AB∩AC=A，

所以AD⊥平面ABC

考点：直线与平面垂直的判定．