Question

已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．

（Ⅰ） 求圆C的方程；

（Ⅱ） 点A（1，1），B（﹣2，0），点P在圆C上运动，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer

（Ⅰ）x2+y2=16（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①．圆与直线x=4相切，所以|a﹣4|=r…②…圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以…③，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；

（Ⅱ）解法1：设t=x0﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．该直线与圆必有交点，所以，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值．

解法2：由可设x0=4sinα，y0=4cosα，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值．

【解析】
（Ⅰ）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）

圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①

圆与直线x=4相切，所以|a﹣4|=r…②

圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以…③

将①②代入③，可得（3a+2）2+12=（a﹣4）2，化简得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）

所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x2+y2=16

（Ⅱ）假设点P的坐标为（x0，y0），则有=38+2（x0﹣y0）．下求x0﹣y0的最大值

解法1：设t=x0﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．该直线与圆必有交点，所以，解得，等号当且仅当直线x0﹣y0﹣t=0与圆x2+y2=16相切时成立．

于是t的最大值为，所以|PA|2+|PB|2的最大值为．

解法2：由可设x0=4sinα，y0=4cosα，于是，所以当时，x0﹣y0取到最大值，

所以|PA|2+|PB|2的最大值为

考点：直线与圆的位置关系．