Question

如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，D为线段B₁C₁中点．

（Ⅰ） 证明：AC₁∥平面A₁BD；

（Ⅱ） 在棱CC₁上是否存在一点E，使得平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，由DF∥AC1，能证明AC1∥平面A1BD．

（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1．

证法1：推导出EF⊥A1B，EF⊥AB1，从而EF⊥平面A1ABB1，由此能证明平面A1BE⊥平面A1ABB1．

证法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG，推导出四边形CEFG为平行四边形，从而CG∥EF，进而CG⊥平面A1ABB1，由此能证明平面A1BE⊥平面A1ABB1．

证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，

△AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点，

所以DF∥AC1

因为DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，

所以AC1∥平面A1BD

【解析】
（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1

证明如下：

方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．

因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1⊂平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1

又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1

方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG．

因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且，

所以FG∥CE，且FG=CE，

所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF

因为AA1⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以CG⊥AA1．

又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面A1ABB1，

所以，CG⊥平面A1ABB1

因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1

又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．