Question

如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，，M，N分别是棱CC₁，AB中点．

（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；

（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；

（Ⅲ）求三棱锥B₁﹣AMN的体积．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩AB=A所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．

（Ⅲ）所以先求△AB1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．

【解析】
（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC

又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．

因为AC=BC=2，N是AB中点，

所以CN⊥AB．

因为AA1∩AB=A，

所以CN⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，

因为N，G分别是棱AB，AB1中点，

所以NG∥BB1，．

又因为CM∥BB1，，

所以CM∥NG，CM=NG．

所以四边形CNGM是平行四边形．

所以CN∥MG．

因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，

所以CN∥平面AMB1．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．

所以．

故答案为：．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．