Question

如图，A，B，C是椭圆M：=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）确定△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率；

（2）求出△ABC的外接圆的方程，由垂径定理得，求出a，可得b，即可求椭圆方程．

【解析】
（1）因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，

又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，

则，

所以，则a2=3b2，

所以；

（2）△ABC的外接圆圆心为AB中点，半径为，

则△ABC的外接圆为：，

由垂径定理得得a=6，

所以所求的椭圆方程为．

考点：椭圆的简单性质．