Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4

（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；

（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；

（3）圆C上有一动点M（x₀，y₀），=（0，y₀），若向量=+，求动点Q的轨迹方程．

Answer

（1）x=2或3x+4y﹣10=0；（2）3x﹣4y+5=0或x=1；（3）+=1．

【解析】

试题分析：（1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；

（2）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为2，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程；

（3）设Q（x，y），表示出，，代入已知等式中化简得到x=x0，y=2y0，代入圆方程变形即可得到Q轨迹方程．

【解析】
（1）当k不存在时，x=2满足题意；

当k存在时，设切线方程为y﹣1=k（x﹣2），

由=2得，k=﹣，

则所求的切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，

设圆心到此直线的距离为d，

∴d==1，即=1，

解得：k=，

此时直线方程为3x﹣4y+5=0，

综上所述，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1；

（3）设Q点的坐标为（x，y），

∵M（x0，y0），=（0，y0），=+，

∴（x，y）=（x0，2y0），

∴x=x0，y=2y0，

∵x02+y02=4，

∴x2+（）2=4，即+=1．

考点：直线与圆的位置关系；与直线有关的动点轨迹方程．