Question

已知椭圆的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离的最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点，求×的值．

Answer

（1）+y2=1；（2）﹣

【解析】

试题分析：（1）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．

（2）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．

【解析】
（1）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（﹣1，0），

依据题意c=1，a﹣c=﹣1，

∴a=，b==1，

∴椭圆的标准方程是：+y2=1；

（2）①当直线l与x轴垂直时，l的方程是：x=﹣1，

得A（﹣1，），B（﹣1，﹣），

×=（，）×（，﹣）=﹣=﹣；

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为 y=k（x+1），

代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1x2=，x1+x2=﹣，

×=（x1+，y1）×（x2+，y2）

=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）

=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+

=（1+k2）（）+（k2+）（﹣）+k2+

=+=﹣2+=﹣

综上×=﹣．

考点：椭圆的简单性质．