已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，...

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

（1）（2））（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求（1）【解析】由题意知，，即b= 又a2=b2+c2 ∴a=2，b= 故椭圆的方程为（2）【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0 设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0 ∴ ∴x1+x2=，x1x2=① ∴=x1x2+y1y2= = = = ∵ ∴ ∴ ∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称 ∴可设E（x2，﹣y2） ∴直线AE的方程为令y=0可得x= ∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4） ∴==1 ∴直线AE与x轴交于定点（1，0）考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．

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考点分析：

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