Question

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，AB=2，点E是C₁D₁的中点．

（1）求证：DE⊥平面BCE；

（2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer

（1）证明见解析（2）120°

【解析】

试题分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE．

（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．

（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），E（0，1，1），

B（1，2，3），C（0，2，0），

∴=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，0），

∵=0， =0，

∴DE⊥BE，DE⊥BC，

∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC=B，

∴DE⊥平面BCE．

（2）【解析】
设平面AEB的法向量=（x，y，z），

则，

取x=1，得=（1，0，1），

∵DE⊥平面BCE，∴=（0，1，1）是平面BCE的法向量，

∵cos＜＞==，

∴二面角A﹣EB﹣C的大小为120°．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．