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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1处有极值10. (1...

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1处有极值10.

(1)求a、b的值;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)求f(x)在[0,4]上的最大值与最小值.

 

(1)a=4,b=﹣11;(2)f(x)在上单调递增,上单调递减.;(3)f(x)的最大值为100,最小值为1020. 【解析】 试题分析:(1)求出导函数,令导函数在1处的值为0;f(x)在1处的值为10,列出方程组求出a,b的值. (2)令导函数大于0求出f(x)的单调递增区间;令导函数小于0求出f(x)的单调递减区间. (3)利用(2)得到f(x)在[0,4]上的单调性,求出f(x)在[0,4]上的最值. 【解析】 (1)由f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10, 得a=4,或a=﹣3 ∵a>0,∴a=4, b=﹣11(经检验符合) (2)f(x)=x3+4x2﹣11x+16,f'(x)=3x2+8x﹣11, 由f′(x)=0得 所以令f′(x)>0得;令 所以f(x)在上单调递增,上单调递减. (3)由(2)知:f(x)在(0,1)上单调递减,(1,4)上单调递增, 又因为f(0)=16,f(1)=10,f(4)=100, 所以f(x)的最大值为100,最小值为1020. 考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.  
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考点分析:
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