Question

设命题p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．

（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）2＜x＜3；（Ⅱ）1＜a≤2

【解析】

试题分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；

（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．

即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．

【解析】
（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3

命题q：⇔⇔2＜x≤3，

p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3

（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．

即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．

由（1）知命题q：2＜x≤3，

命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0

由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，

所以，所以1＜a≤2

考点：充分条件；命题的真假判断与应用．