Question

已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若AF₂+BF₂的最大值为5，则椭圆方程为     ．

Answer

【解析】

试题分析：|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，根据|AF2|+|BF2|的最大值为5，可得|AB|的最小值为3．由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，再利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

【解析】
|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，

∵|AF2|+|BF2|的最大值为5，

∴|AB|的最小值为3．

由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，c2=4﹣b2．

∴y1+y2=，y1y2=．

∴|AB|===，

当m=0时，|AB|=b2；

当m≠0时，|AB|=4+＞b2．

∴b2=3．

∴椭圆的标准方程为：，

故答案为：．

考点：椭圆的简单性质．