Question

已知f（x）=．

（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；

（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）﹣（2）[，+∞）

【解析】

试题分析：（1）根据题意，把f（x）＞k化为kx2﹣2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围．

【解析】
（1）∵f（x）＞k，

∴＞k；

整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，

∴方程kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2；

由根与系数的关系知，

﹣3+（﹣2）=，

即k=﹣；

（2）∵x＞0，

∴f（x）==≤=，

当且仅当x=时取等号；

又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立，

∴t≥，

即t的取值范围是[，+∞）．

考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题．