Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）²，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer

（Ⅰ）2；（Ⅱ）4

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；

（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

【解析】
（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）

于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x （3，4） 4 （4，6）

f'（x） + 0 ﹣

f（x） 单调递增 极大值42 单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．