Question

已知函数f（x）=x²+alnx．

（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；

（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；

（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x³的图象下方．

Answer

（1）极小值f（1）=；（2）e2+1；（3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；

（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；

（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．

【解析】
（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x﹣=；

故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；

（2）当a=1时，f（x）=x2+lnx的定义域为（0，+∞），

f′（x）=x+＞0；

故f（x）在[1，e]上是增函数，

故fmin（x）=f（1）=，fmax（x）=f（e）=e2+1；

（3）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx；

则F′（x）=2x2﹣x﹣=，

∵x∈[1，+∞），

∴F′（x）=≥0，

∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，

故F（x）≥F（1）=﹣=＞0；

故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．