Question

如图，点F₁，F₂分别是椭圆C：的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，点B是直线AF₂与椭圆C的另一交点，且满足AF₁⊥x轴，∠AF₂F₁=30°．

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若△ABF₁的周长为，求椭圆C的标准方程；

（3）若△ABF₁的面积为，求椭圆C的标准方程．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）通过求解直角三角形得到A的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C的离心率e；

（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；

（3）由（1）得到a与c，b与c的关系，设直线AF2的方程为，代入2x2+3y2=6c2化简整理，求得B的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案．

【解析】
（1）Rt△AF1F2中，∵∠AF2F1=30°，

∴，

则，代入并利用b2=a2﹣c2化简整理，

得3a4﹣2a2c2﹣3c4=0，即（a2﹣3c2）（3a2﹣c2）=0，

∵a＞c，

∴，

∴．

（2）由椭圆定义知AF1+AF2=BF1+BF2=2a，

∴△ABF1的周长为4a，

∴，则，，

故椭圆C的标准方程为；

（3）由（1）知，则，

于是椭圆方程可化为，即2x2+3y2=6c2，

设直线AF2的方程为，代入2x2+3y2=6c2化简整理得3x2﹣2cx﹣5c2=0，

∴x=﹣c或，

则点B的横坐标为，

∴点B到直线AF1的距离为，

∴△ABF1的面积为，

解得c=3，

∴，

故椭圆C的标准方程为．

考点：椭圆的简单性质．