Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设∠CED=60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；

（Ⅱ）由题意求得三角形CDE是以∠CDE为直角的直角三角形，然后结合已知求得CD，再由三棱锥体积公式求得答案．

（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，

∴EO∥PB，

∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

∴PB∥平面AEC；

（Ⅱ）【解析】
∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，

又AP=1，AD=，

∴，

∵E为PD的中点，

∴DE=1，

由PA⊥平面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，

又平面PAD∩平面ABCD=AD，且CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，则CD⊥ED，

在Rt△CDE中，

由DE=1，∠CED=60°，

∴CD=tan60°=，

则．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．