Question

已知椭圆C的左，右焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），离心率为，若P为椭圆C上的任意一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点．

（1）求椭圆C短轴长；

（2）求点M的轨迹方程．

Answer

（1）2b=4，（2）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由椭圆的焦点坐标和离心率列出方程组，由此能求出椭圆的短轴长．

（2）由知椭圆方程为，设P（x0，y0），M（x，y），利用代入法能求出点M的轨迹方程．

【解析】
（1）∵椭圆C的左，右焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），离心率为，

∴设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

则，解得a=2，b=2，c=2，

∴椭圆C短轴长2b=4，．

（2）由（1）知椭圆方程为，

设P（x0，y0），M（x，y），

则，，y=y0，

代入，得，

整理，得．

∴点M的轨迹方程为．

考点：椭圆的简单性质．