Question

已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线过点M（，1）．

（1）求C的方程；

（2）过C的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=，|AF|＜|BF|，求|AF|．

Answer

（1）y2=2x；（2）

【解析】

试题分析：（1）通过设抛物线C的标准方程为y2=2px，代入点M（，1）计算可知p=1，进而可得结论；

（2）通过（1）可知焦点F（，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，通过联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算可知m=±，进而利用抛物线的定义计算即得结论．

【解析】
（1）由题意可设抛物线C的标准方程为：y2=2px，

∵抛物线过点M（，1），

∴p=1，

所以抛物线C的方程为：y2=2x；

（2）由（1）可知焦点F（，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），

设直线AB的方程为：x=my+，则

联立直线AB与抛物线方程，整理可知：y2﹣2my﹣1=0，

∴y1+y2=2m，y1y2=﹣1，△=4m2+4＞0，

∴|AB|=×

=×

=2（1+m2）

=，

解得：m=±，

∴x1+x2=m（y1+y2）+1=，

x1x2=m2y1y2+（y1+y2）+=，

∴x1=或x1=，

∵|AF|＜|BF|，

∴B（，y1）、A（，y2），

又∵抛物线C的准线方程为：x=﹣，

∴|AF|=+=．

考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．