Question

已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2^x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（  ）

A．（3，5）    B．（3，+∞）    C．（2，+∞）    D．（2，4]

Answer

D

【解析】

试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．

【解析】
∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），

则函数f（x）关于x=2对称，

则f（x）=f（4﹣x）．

若x＞2，则4﹣x＜2，

∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，

∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，

则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，

此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，

当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，

此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，

所以函数的递减区间为（2，4]，

故选：D．

考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．