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如图,△ABC是边长为2的正三角形,AE⊥平面ABC,且AE=1,又平面BCD⊥...

如图,ABC是边长为2的正三角形,AE平面ABC,且AE=1,又平面BCD平面ABC,且BD=CD,BDCD

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(1)求证:AE平面BCD;

(2)求证:平面BDE平面CDE.

 

(1)(2)证明见解析 【解析】 试题分析:(1)取BC的中点M,连接DM、AM,证明AE∥DM,通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD. (2)证明DE∥AM,DE⊥CD.利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE.然后证明平面BDE⊥平面CDE. 证明:(1)取BC的中点M,连接DM、AM, 因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2, 所以DM=1,DM⊥BC,AM⊥BC, 又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC,所以AE∥DM, 又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD, 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)已证AE∥DM,又AE=1,DM=1, 所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM. 由(1)已证AM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE. 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.  
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考点分析:
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