Question

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．

（1）求证：AD⊥平面BCE；

（2）求证：AD∥平面CEF；

（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．

（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．

（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．

（1）证明：依题AD⊥BD，

∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，

∵BD∩CE=E，

∴AD⊥平面BCE．

（2）证明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，

Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．

∴．

∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，

∴AD∥平面CEF．

（3）【解析】
由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，

且ED=BD﹣BE=1，

∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．

∴S△FAD==．

∵CE⊥平面ABD，

∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．