Question

已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．

（1）求a；

（2）对x∈（0，1]，不等式s×f（x）≥2^x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；

（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）2；（2）[3，+∞）；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；

（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；

（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．

【解析】
（1）由题意知f（0）=0．即，

所以a=2．此时f（x）=，

而f（﹣x）=，

所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．

（2）由（1）知，

因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，

故s×f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，

因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．

故s的取值范围是[3，+∞）．

（3）因为．

所以g（2x）﹣mg（x+1）=．

整理得22x﹣2m×2x﹣m+1=0．

令t=2x＞0，则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根．

令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），则函数h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零点．

所以h（0）≤0或，

由h（0）≤0得m≥1，

易知m=1时，h（t）=t2﹣2t符合题意；

由解得，

所以m=．

综上m的取值范围是．

考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．