Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明PA∥平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；

（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；

（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．

法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．

（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB；

（2）证明EF⊥PB，，即可证明PB⊥平面EFD；

（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．

【解析】
方法一：

（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC．①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）【解析】
由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．

设正方形ABCD的边长为a，

则，．

在Rt△PDB中，．

在Rt△EFD中，，∴．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．

依题意得．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．

∴，这表明PA∥EG．

而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明；依题意得B（a，a，0），．

又，故．

∴PB⊥DE．

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）【解析】
设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．

从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．

由条件EF⊥PB知，，即，解得

∴点F的坐标为，且，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

∵，且，，

∴．

∴．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．

考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．