Question

给出下列命题：

（1）导数f′（x₀）=0是y=f（x）在x₀处取得极值的既不充分也不必要条件；

（2）若等比数列的n项s_n=2ⁿ+k，则必有k=﹣1；

（3）若x∈R⁺，则2^x+2^﹣x的最小值为2；

（4）函数y=f（x）在[a，b]上必定有最大值、最小值；

（5）平面内到定点（3，﹣1）的距离等于到定直线x+2y﹣1的距离的点的轨迹是抛物线．

其中正确命题的序号是      ．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）比如y=x3，y′=3x2，x=0不为极值点，由充分必要条件的定义，即可判断；

（2）求出an=，即可求出k；

（3）运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可判断；

（4）比如常数函数在[a，b]上无最值，即可判断；

（5）注意运用抛物线的定义的隐含条件即定点不在定直线上，即可判断．

【解析】
（1）由f'（x0）=0 推不出极值点，因为有可能是拐点（说明不充分），

比如y=x3，y′=3x2，x=0不为极值点；f（x）在x=x0处取得极值，

但函数f（x）在R上不一定可导，故不能推出f′（x0）=0，

故导数f′（x0）=0是y=f（x）在x0处取得极值的既不充分也不必要条件，故（1）对；

（2）若等比数列的前n项和sn=2n+k，则a1=2+k，an=sn﹣sn﹣1=2n+k﹣（2n﹣1+k）=2n﹣1，

a1=1，故k=﹣1，故（2）对；

（3）若x∈R+，则2x+2﹣x≥2=2，当且仅当2x=2﹣x=1，即x=0，取等号，

由于x＞0，故最小值取不到，故（3）错；

（4）比如常数函数在[a，b]上无最值，故（4）错；

（5）平面内到定点（3，﹣1）的距离等于到定直线x+2y﹣1=0的距离的点的轨迹是

过定点垂直于已知直线的一直线，而非抛物线，是因为定点在定直线上，故（5）错．

故答案为：（1）（2）

考点：命题的真假判断与应用．