Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；

（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；

（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；

（3）求出原点到直线AB的距离最大值即可．

【解析】
（1）∵c=，e==，∴a=，

∵a2﹣b2=c2，∴b=1．

∴椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

若直线斜率k存在，则设直线AB：y=kx+m．

由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0．

∴，

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．

即x1x2+（k x1+m） （k x2+m）=（1+k2） x1x2+k m（x1+x2）=0．

∴4 m2=3 k2+3

∴原点到直线AB的距离d=．

若AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，可得|x1|=．

所以点O到直线AB的距离为定值．

（3）|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（）2﹣4×]

==3+=3+≤4．

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立．∴|AB|≤2．

当斜率不存在时，经检验|AB|＜2．

所以S△AOB≤=．

综上：△OAB面积的最大值为．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．