Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+1上；数列{b_n}的前n项和S_n=3ⁿ﹣1．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）若数列{a_n×b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＜8S_n+成立的最大数n的值．

Answer

（1）an= n，bn=2×3n﹣1（2）8

【解析】

试题分析：（1）由题意可得an+1=an+1，运用等差数列的通项公式可得an=n；再由b1=S1=2；bn=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到所求通项；

（2）求得an×bn=2n×3n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得Tn，由题意化简可得2n﹣1＜16，解不等式即可得到所求最大值．

【解析】
（1）由题意可得an+1=an+1，

可得an=a1+n﹣1=1+n﹣1=n；

由数列{bn}的前n项和Sn=3n﹣1，

可得b1=S1=2；

bn=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1，

上式对n=1也成立．

则bn=2×3n﹣1；

（2）an×bn=2n×3n﹣1，

前n项和为Tn=2（1×30+2×31+3×32+…+n×3n﹣1），

即有3Tn=2（1×3+2×32+3×33+…+n×3n），

相减可得，﹣2Tn=2（1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n）

=2（﹣n×3n），

化简可得Tn=，

Tn＜8Sn+即为＜8（3n﹣1）+，

化简为2n﹣1＜16，解得n＜8.5，

则n的最大值为8．

考点：数列的求和；数列递推式．