Question

平面直角坐标系xOy中，已知F₁、F₂分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且右焦点F₂的坐标为（，0），点（，）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且=2．

（1）当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程；

（2）若过点P的直线l：y=x+m交（1）中的曲线E于A，B两点，求△ABQ面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）+y2=1（Ⅱ）（1）=1（2）8

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标和点在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．

（Ⅱ）（1）设P（2cosθ，sinθ），则Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，由此能求出当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程．

（2）联立，得5x2+8mx+4m2﹣16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出△ABQ面积的最大值．

【解析】
（Ⅰ）∵F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

且右焦点F2的坐标为（，0），点（，）在椭圆C上，

∴，解得a=2，b=1，

∴椭圆C的标准方程为+y2=1．

（Ⅱ）（1）∵在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且=2，

∴设P（2cosθ，sinθ），则Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，

∴当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程：

，0≤θ＜2π，

∴点E的直角坐标方程为：=1．

（2）联立，得5x2+8mx+4m2﹣16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

△=64m2﹣80m2+320＞0，解得﹣2，

|AB|==，

设Q（4cosθ，2sinθ），则Q到直线y=x+m的距离d==|2sin（θ+α）+m|，

∴当m=0时，△ABQ面积取最大值S==8．

考点：椭圆的简单性质．