Question

求下列曲线的标准方程：

（1）与椭圆x²+4y²=16有相同焦点，过点p（，），求此椭圆标准方程；

（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程．

Answer

（1）（2）y2=16x或x2=﹣12y

【解析】

试题分析：（1）所求椭圆方程为，（a＞b＞0），其焦点坐标为（，0），再由椭圆过点P（），能求出a，b，从而能求出椭圆方程．

（2）由抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，得焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0），由此能求出抛物线方程．

【解析】
（1）∵椭圆x2+4y2=16，∴，其焦点坐标为（，0），

设所求椭圆方程为，（a＞b＞0），其焦点坐标为（，0），

∴c2=12=a2﹣b2，①

又∵椭圆过点P（），∴=1，②

解①②组成的方程组得，

∴椭圆方程为

（2）∵抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，

∴焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0）

当焦点（0，﹣3）时，

设抛物线方程为x2=﹣2py，，抛物线方程为x2=﹣12y

当焦点（4，0）时，

设抛物线方程为y2=2px，，抛物线方程为y2=16x

∴抛物线方程为y2=16x或x2=﹣12y

考点：椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．