Question

在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．

（1）求点M的轨迹L的方程；

（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．

Answer

（1）x2+2y2=18（2）y=﹣2x+9

【解析】

试题分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；

（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．

【解析】
（1）设M（x，y），则：

（x≠0）；

∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；

（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；

x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；

∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：

（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；

∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：

△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；

解得k=﹣2；

∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．

考点：轨迹方程；直线的一般式方程．