Question

已知椭圆C：的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）（2）以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的离心率和将点P坐标代入椭圆方程中，解得a2，b2，从而求出椭圆方程．

（2）第一步：根据椭圆方程先求出左焦点，再求出以椭圆C的长轴为直径的圆的方程及圆心和半径，

第二步：求出以PF为直径的圆的方程及圆心和半径，再根据圆心距与两半径的关系得到两圆相切．

【解析】
（1）∵椭圆的离心率为，且经过点．

即解得

∴椭圆C的方程为．

（2）∵a2=4，b2=3，∴．

∴椭圆C的左焦点坐标为（﹣1，0）．

以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心坐标是（0，0，半径为2

以PF为直径的圆的方程为，圆心坐标为（0，），半径为

∵，

故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．

考点：圆与圆锥曲线的综合．