Question

设p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；

（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer

（1）2＜x≤3，（2）1＜a≤2

【解析】

试题分析：（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．

（2）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，转化为集合关系．

【解析】
由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，

所以a＜x＜3a

由满足；

得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，

（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3

（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，

设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，

则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2

考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．