Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．

Answer

（1）y2=8x（2）λ=0，或λ=2

【解析】

试题分析：（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．

（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．

【解析】
（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，

∴x1+x2=

由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9

∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．

（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，

∴x1=1，x2=4，

y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．

设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）

又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．

考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．