Question

如图，已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．

求：（1）点C到面BC₁D的距离；

（2）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点C到面BC1D的距离．

（2）求出和平面BC1D的法向量，由此能求出D1E与平面BC1D所成角的正弦值．

【解析】
（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，

∴C（0，2，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），

=（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2），

设平面BC1D的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，﹣1，1），

∴点C到面BC1D的距离：d===．

（2）D1（0，0，2），E（2，1，0），=（2，1，﹣2），

设D1E与平面BC1D所成角为θ，

sinθ===．

∴D1E与平面BC1D所成角的正弦值为．

考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．