Question

已知直线l的斜率为，且过点和椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F₂，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线（其中2c为焦距）上，直线m过椭圆左焦点F₁交椭圆C于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，求直线m的方程；

（3）设（O为坐标原点），当直线m绕点F₁转动时，求λ的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）利用点斜式即可得出直线l的方程，令y=0即可得出椭圆的焦点（c），利用轴对称的性质即可得出原点关于l的对称点，利用准线方程x=，即可得出a，再利用b2=a2﹣c2即可得到椭圆的方程；

（2）由题意方程可得F1（﹣2，0），F2（2，0），设直线MN的方程为x=ty﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理以及向量的模的运算，解方程可得t，进而得到所求直线的方程；

（3）运用向量的数量积的定义，可得||×||sin∠MON=λ，即有λ=S△MON=|OF1|×|y1﹣y2|，再由韦达定理和基本不等式，即可得到所求范围．

【解析】
（1）由题意可得直线l：y=x﹣2，

令y=0，解得x=2，可得c=2，

即椭圆的焦点为（±2，0），

设原点关于l的对称点为（x，y），

则，解得x=3，即=3，可得a2=6，

则b2=a2﹣c2=2．

∴椭圆的方程为+=1；

（2）由题意方程可得F1（﹣2，0），F2（2，0），

设直线MN的方程为x=ty﹣2，

代入椭圆方程可得，（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2=，y1y2=﹣，

由，可得（x1+x2﹣4）2+（y1+y2）2=50，

又x1+x2=t（y1+y2）﹣4，

即有（﹣8）2+（）2=50，

解得t2=1，即t=±1，

则直线m的方程为x=±y﹣2；

（3），

可得||×||sin∠MON=λ，

即有λ=S△MON=|OF1|×|y1﹣y2|

=|y1﹣y2|==

==≤=，

当且仅当=，即t=±1时，S取得最大值．

则有λ的取值范围是（0，]．

考点：椭圆的简单性质．