Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．

（1）求∠ADC；

（2）求证：BC⊥PC；

（3）求点A到平面PBC的距离．

Answer

（1）135°（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）过D作BC的平行线DE，交AB于E，由已知能求出∠DAE=45°，从而能求出∠ADC．

（2）推导出PD⊥BC，BC⊥DC，由此能证明PC⊥BC．

（3）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，由等体积法能求出点A到平面PBC的距离．

【解析】
（1）过D作BC的平行线DE，交AB于E，

∵在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，

∴AE=DE=1，DE⊥AE，

∴∠DAE=45°，

∴∠ADC=135°．

证明：（2）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PD⊥BC，

由∠BCD=90°，得BC⊥DC，

又PD∩DC=D，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PCD，

∴BC⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，

∴PC⊥BC．

【解析】
（3）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h，

因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°，

从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1，

由PD⊥平面ABCD及PD=1，

得三棱锥P﹣ABC的体积V=，

∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

∴PD⊥DC，

又PD=DC=1，∴PC==，

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积S△PBC=，

由=，解得h=，

∴点A到平面PBC的距离为．

考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．