Question

已知函数f（x）=x³+（1﹣b）x²﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x²+y²=4内的面积为（  ）

A．    B．    C．π    D．2π

Answer

B

【解析】

试题分析：根据条件求出a，b的值以及函数f（x）的表达式，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可．

【解析】
因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．

则f（x）=x3﹣x2+ax，

函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，

因为原点处的切线斜率是﹣3，

即f′（0）=﹣3，

所以f′（0）=a=﹣3，

故a=﹣3，b=2，

所以不等式组为

则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求．

∵kOB=﹣，kOA=，

∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，

故选：B

考点：二元一次不等式（组）与平面区域；导数的几何意义．