Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；

（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

【解析】
（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA

∴PA⊥平面ABCD

结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示

可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），

P（0，0，λ） （λ＞0）

∴，，

得，，

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．

∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，

设直线PE与平面PAC所成的角为θ，

则，解之得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）

设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，

由，，得到，

令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）

∴cos＜，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，

∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．