Question

设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=﹣．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x₀，y₀）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer

（1）+y2=1；（2）（1，0）．证明见解析

【解析】

试题分析：（1）设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．

（1）【解析】
设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，

即n2=b2×，

由k1k2=﹣，即×=﹣，

即有=﹣，

即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，

解得a2=2，b2=1．

即有椭圆E的方程为+y2=1；

（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），

则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，

由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，

得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，

故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，

即x+ty=1为CD的直线方程．

令y=0，则x=1，

故CD过定点（1，0）．

考点：椭圆的简单性质．