Question

已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer

（1）（2）f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（3）（，+∞）

【解析】

试题分析：（1）由函数上为增函数，得g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．

（2）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；

（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x） max＞0即可；

【解析】
（1）∵函数上为增函数，

∴g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，

≥0，

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，

故要使xsinθ﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，

只需1×sinθ﹣1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，

∵θ∈（0，π），∴θ=．

（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．

当m=0时，f（x）=，f′（x）=，

当0＜x＜2e﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

所以f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．

（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，

①当m≤0时，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，

∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．

②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，

∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，

∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．

故F（x）在[1，e]上单调递增，

F（x） max=F（e）=me﹣﹣4，

只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．

故m的取值范围是（，+∞）

考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．