Question

如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是圆O的切线．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；

（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．

证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．

又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

∴，得．

∵G是AD的中点，即DG=AG．

∴BF=EF．

（2）连接AO，AB．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，

∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．

又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．

∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．