Question

四棱锥P﹣ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD；

（Ⅱ）H是PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角为45°，求二面角E﹣AF﹣C的正切值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设菱形ABCD的边长为2a，由勾股定理推导出AE⊥BC，AE⊥AD．由线面垂直得到PA⊥AE，由此能证明面AEF⊥面PAD．

（Ⅱ）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，则∠EGQ是二面角E﹣AF﹣C的平面角．由此能求出二面角E﹣AF﹣C的正切值．

（Ⅰ）证明：设菱形ABCD的边长为2a，

则AE2=（2a）2+a2﹣2a×2acos60°=3a2，AE=，

BE2+AE2=AB2，∴AE⊥BC，

又AD∥BC，∴AE⊥AD．

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，

∴面AEF⊥面PAD．

（Ⅱ）【解析】
过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，

∴∠EGQ是二面角E﹣AF﹣C的平面角．

过点A作AH⊥PD，连接EH，

∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角．

∵∠AHE=45°，∴AH=AE=，

∵AH×PD=PA×AD，∴2a×PA=，PA=2，PC=4a，

EQ=，CQ=，GQ=a，

∴tan∠EGQ==．

考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．