Question

已知f（x）=x²+ax+sinx，x∈（0，1）

（1）若f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（2）当a=﹣2时，记f（x）得极小值为f（x₀），若f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞2x₀．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）函数f（x）在定义域内单调递增，则导函数f′（x）≥0恒成立，然后问题转化为函数的最值问题求解；

（2）先利用导数研究函数f（x）在区间（0，1）上的单调性、极值，判断x0所在的区间，结合函数的单调性找到x1，x2，x0之间的关系．

（1）【解析】
．

依题意f′（x）≥0恒成立，即．

令．

，

∵g′（x）在（0，1）上递减，且g′（0）＞0，g′（1）＜0，

∴g′（x）在区间（0，1）上存在唯一零点m．

∴g（x）在（0，m）上递增，在（m，1）上递减．

由，

解得．

∴a的取值范围是；

（2）证明：当a=﹣2时，f（x）=．

．

令φ（x）=f′（x），x∈（0，1]．

φ′（x）=，

显然φ′（x）在（0，1）上递减，又φ′（0）=2＞0，φ′（1）=2﹣．

故存在唯一实数n，使得φ′（n）=0，

∴φ（x）在（0，n）上递增，在（n，1）上递减．

而f′（0）=﹣2+＜0，f′（1）=0，∴f′（n）＞0．

由f′（x0）=0知0＜x0＜n＜1．

令x1＜x2，

∴f（x）在（0，x1）递减，在（x2，1）递增．

由f（x1）=f（x2）得，0＜x1＜x0＜x2＜1．

令F（x）=f（x0+x）﹣f（x0﹣x），

则F′（x）==4x0﹣4+，

又F′（x）在（0，1）上单调递减，

∴F′（x）＜F′（0）=4x0﹣4+=2f′（x0）=0，

∴F（x）在（0，1）上单调递减，

∴F（x）＜F（0）=0，

∴f（x0+x）＜f（x0﹣x），

∵f（x1）=f（x2）=f[x0﹣（x0﹣x2）]＜f[x0+（x0﹣x2）]=f（2x0﹣x2），

∵0＜x2＜1，∴0＜2x0﹣x2＜x0，

又∵0＜x1＜x0，

而f（x）在（0，x0）上单调递减，

∴x1＞2x0﹣x2，即x1+x2＞2x0．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．