Question

已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是          ．

Answer

（，0）

【解析】

试题分析：根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．

【解析】
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，

∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），

∴函数y=f（x）为偶函数，

令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，

即2f（2）=0，则f（2）=0，

即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），

即函数f（x）是周期为2的周期数列，

若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，

此时f（﹣x）=﹣x=f（x），

∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，

令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．

作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，

如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，

关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，

又∵kMA=0，kMB=，

∴＜k＜0．

故答案为：（，0）．

考点：根的存在性及根的个数判断．